Cours de Mathématiques en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Analyse

La forme canonique

La première méthode classique pour résoudre ce problème est d'utiliser la mise en forme canonique. Cette méthode consiste à passer d'une forme développée à une forme canonique où il n'y a qu'un seul terme contenant du x. Pour ce faire, on repère d'abord les facteurs communs. Dans cet exemple, on peut factoriser par 4 et même par -4 pour simplifier les étapes suivantes. On obtient ainsi moins 4x², moins 2x et plus 3. Ensuite, on repère le début du développement d'un carré avec les deux termes contenant du x. Dans cet exemple, le terme x²-2x est quasiment équivalent à x²-2x plus 1, auquel on soustrait 1. Donc on doit ajouter et soustraire 1 pour maintenir l'équivalence. On obtient ainsi la forme x²-2x plus 1, que l'on peut simplifier en (x-1)² moins 1. Pour réécrire la fonction f2x égale moins 4 fois x-1² moins 1, plus 3, on peut simplifier en moins 4 facteur de (x-1)² plus 2. Pour résoudre l'équation f2x égale moins 8 en utilisant la forme canonique, on développe la formule f2x et on obtient moins 4 fois (x-1)² moins 4 fois 2 est égal à moins 8. En simplifiant, on obtient que moins 4 fois (x-1)² est égal à 0. Le facteur moins 4 peut être supprimé et on obtient que (x-1) doit être égal à 0, donc x égal à 1.

Tableau de variations

Ce cours traite du sens de variation d'une fonction polynôme, en fonction du signe de son coefficient principal 'a'. Lorsque 'a' est positif, la fonction avance en décroissant puis en croissant (fonction qui sourit), alors que lorsque 'a' est négatif, la fonction avance en croissant puis en décroissant (fonction qui fait la tête). En appliquant une formule pour trouver le minimum et le maximum de la fonction, liés aux valeurs de 'a', on peut facilement déterminer le sens de variation de n'importe quelle fonction polynôme. En appliquant cette méthode à des exemples concrets, l'auteur démontre que la formule n'est pas très compliquée une fois qu'on la comprend.

Racines

Dans ce cours, nous avons vu différentes méthodes pour trouver des racines de fonctions polynomiales. Pour le premier exemple, on peut calculer le delta ou utiliser la forme canonique de la fonction. Pour le deuxième exemple, on peut repérer une densité remarquable ou utiliser une racine évidente pour trouver les autres racines. Pour le troisième exemple, il est possible de factoriser la fonction et repérer des racines évidentes. En somme, il est utile de connaître certaines formules et de tester différentes valeurs pour trouver les racines.

La Forme Factorisée

Dans ce cours de mathématiques, nous avons vu plusieurs exemples de facteurisation de trinômes. Pour le premier, nous avons utilisé une astuce pour factoriser f2x = -0,5x² + 5x - 12,5 en utilisant -0,5 comme facteur commun. Pour le deuxième, nous avons cherché une racine évidente en remarquant que les coefficients semblaient s'approcher de zéro pour x = 1. Nous avons ainsi trouvé que g² = 4x² + 4x - 8 = (x-1)(x+2). Pour le troisième exemple, nous avons utilisé la méthode du delta pour trouver que h²x = 3x² - 2x + 2,4 n'était pas factorisable. Nous avons également montré qu'il était possible d'obtenir la forme canonique x² - (2/3)x + 1/9 en faisant un petit calcul. En somme, nous avons vu différentes méthodes pour factoriser des trinômes et comment les utiliser en fonction de la situation.

Astuce : les racines évidentes

Dans ce cours, on parle de la notion de racine évidente dans les fonctions ax² plus bx plus c. Si le discriminant est positif et qu'il existe deux racines, on a des relations entre les racines et les coefficients comme le produit des deux racines égal à c sur a et la somme des deux racines égale à moins b sur a. Tester des racines évidentes peut être utile dans les cas où les coefficients semblent pouvoir se combiner facilement pour faire 0. L'exercice consiste à trouver toutes les solutions de la fonction f²x égal à 5x² moins 4x moins 1. En trouvant que moins 1 est racine évidente, on peut trouver que l'autre racine est moins 1 cinquième. L'objectif de cet exercice est d'entraîner l'esprit à développer des réflexes pour détecter des choses rapidement afin d'aller plus vite dans des exercices plus complexes en première ou en terminale.

Les inéquations

Ce cours traite de la résolution d'inéquations avec des polynômes de degré 2. Pour comprendre le comportement des fonctions polynômes en fonction de A, B et C, on peut se référer à leur forme en sourire ou en tête, déterminée par la valeur de A. Lorsque delta est négatif, la fonction ne croise jamais l'axe des x et est toujours positive stricte. Si delta est égal à 0, la fonction est nulle en un seul point mais toujours positive. Enfin, si delta est positif, la fonction est un peu plus basse que les précédentes et croise deux fois l'axe des x. Il suffit ensuite de tout mettre du même côté d'une équation pour avoir quelque chose plus grand ou plus petit que 0. Ensuite, on peut factoriser et calculer delta pour trouver les racines de la fonction. Ensuite, on peut tracer un tableau de signes pour déterminer la solution de l'inéquation.

Déterminer les coéfficients d'un polynôme

Dans cette leçon de mathématiques, nous avons pour objectif de trouver les coefficients d'une fonction polynomiale inconnue, à partir de trois indices, à savoir l'existence d'un extremum atteint en -1, d'un autre extremum en 2, et l'annulation de la fonction en 1. Pour cela, nous déterminons la forme canonique de la fonction f(x) en fonction des coefficients a, alpha et beta, en faisant appel aux indices donnés. Ainsi, nous trouvons que alpha est égale à -1 et que beta est égale à 2. Ensuite, nous utilisons le troisième indice pour trouver le coefficient a, et finalement nous obtenons la fonction f(x) = -1/2(x+1)²+2. En résumé, en utilisant les indices donnés et en faisant appel à la forme canonique de la fonction, nous avons pu trouver les coefficients et donc l'expression de la fonction polynomiale inconnue.

Inéquation... compliquée !

Introduction to solving inequalities with polynomial terms, including second-degree polynomials in the numerator or denominator. A table of signs is necessary, taking into account the signs of both the numerator and denominator. An example is worked through, calculating the sign of a fraction with a second-degree polynomial numerator and a first-degree polynomial denominator, using a function analysis and a sign table. Another example is provided, where an identity is factored in, simplifying the analysis of the function. The importance of not overlooking values, such as the value of x where the denominator equals zero, is highlighted.

Les équations bi-carrés

Ce cours traite de la résolution d'équations de bicarré avec uniquement des puissances de 2 en x² et x4. On pose un grand x, résolvons l'équation de manière basique avec le cours du polynomial de second degré et en gardant à l'esprit que x est positif. Si x n'est pas positif, il ne convient pas. Nous pouvons également repérer une racine évidente pour faciliter la résolution. Le résultat final est un ensemble de solutions qui est soit x égal à -2, soit x égal à 2, et il est important de se rappeler que x doit être positif.

Inconnues : partir d'une somme et d'un produit

Dans cet exercice mathématique, on cherche deux entiers dont la somme est 51 et le produit est 308. Pour résoudre cette équation, on utilise le polynôme de second degré en se basant sur le théorème selon lequel, dans un polynôme AX2 plus BX plus C, les racines ont une somme de -B/A et un produit de C/A. En remplaçant les valeurs données dans le polynôme, on trouve les racines uniques de l'équation en calculant le delta. On peut également utiliser une méthode arithmétique pour décomposer 308 en facteurs premiers et chercher deux nombres dont la somme est égale à 51. Le professeur encourage les étudiants à poser des questions et explique que les identités remarquables peuvent aider à effectuer des calculs mentaux plus rapidement.

Une équation à paramètre

L'exercice de mathématiques consiste à explorer une famille d'équations de la forme x²+mx-2m=0 en fonction du paramètre m. Pour m=2, l'équation devient 0x²=0 et la solution unique est x=1/4. Si m est différent de 2, l'équation est un polynome de degré 2 et le discriminant delta est -4(m-2), qui détermine le signe de delta et donc le nombre de solutions de l'équation. Si m est plus petit que 0 ou plus grand que 10, il n'y a pas de solution réelle. Si m est égal à 0 ou 10, il y a une solution unique et si m est compris entre 0 et 10, il y a deux solutions réelles. Les solutions sont explicitement calculées pour chaque cas.