Récurrence et croissance

La démonstration par récurrence est une technique utilisée en mathématiques pour prouver une propriété P(n) qui est vraie pour tous les entiers naturels n. Dans cette transcription d'une vidéo, nous avons un exemple de démonstration par récurrence pour prouver que la suite donnée est strictement décroissante. Pour commencer, nous définissons P(2n) comme la propriété qui est vraie au rang n dans la démonstration par récurrence. Dans ce cas, nous voulons montrer que Un+1 est plus petit que Un. Il est important de noter que la propriété de récurrence, P(2n), n'inclut pas la mention "pour tout n" car elle est seulement vraie pour un rang spécifique. Nous commençons par l'initialisation, c'est-à-dire montrer que la propriété est vraie pour le premier rang (n=0). Ensuite, nous passons à l'hérédité, où nous assumons que la propriété est vraie au rang n et essayons de montrer qu'elle est également vraie au rang n+1. Dans cet exemple, nous utilisons une relation de récurrence pour montrer l'hérédité. Nous posons la fonction f(x) = 2x - 6 et utilisons le fait que cette fonction est strictement croissante. En utilisant cette fonction, nous pouvons montrer que Un+2 est plus petit que Un+1 en composant f(Un) et f(Un+1). En conclusion, en utilisant le principe de récurrence, nous avons prouvé que pour tout entier naturel n, Un+1 est strictement inférieur à Un, ce qui signifie que la suite est strictement décroissante. Il est également souligné qu'il est important de distinguer entre le réel Un (la valeur de la suite au rang n) et l'objet suite Un (l'ensemble des valeurs de la suite). L'utilisation de parenthèses pour indiquer l'objet suite est recommandée pour éviter toute confusion.