Suites géométriques : démo

Dans cette vidéo, nous démontrons les intuitions graphiques sur la limite des suites géométriques. Il y a plusieurs cas à démontrer. Dans le premier cas, lorsque Q est strictement supérieur à 1, nous démontrons que Q élevé à la puissance n tend vers l'infini. Pour cela, nous utilisons l'inégalité de Bernoulli et le terrain de comparaison. En posant Q = 1+h, avec h positif, nous appliquons l'inégalité de Bernoulli pour écrire que 1+h élevé à la puissance n est supérieur ou égal à 1+nh. Comme 1+nh est une suite arithmétique de raison positive qui tend vers l'infini, le terrain de comparaison nous permet d'affirmer que Q élevé à la puissance n tend vers l'infini. Les autres cas se rapportent au cas précédent. Par exemple, lorsque Q est entre 0 et 1, nous posons P = 1/Q et utilisons le résultat précédent pour dire que P élevé à la puissance n tend vers l'infini. Il en découle que Q élevé à la puissance n tend vers 0. Dans le dernier cas, nous appliquons le théorème des gendarmes pour encadrer la suite Q élevé à la puissance n entre deux suites qui convergent vers 0. Ainsi, Q élevé à la puissance n tend également vers 0. Les deux autres cas sont de simples astuces pour éviter de faire trop d'efforts lors de la démonstration. La démonstration des trois formules est assez rapide, avec un cas particulièrement fort lorsque Q est plus grand que 1. Les deux autres cas sont des façon astucieuses de réutiliser des résultats précédents. Cette démonstration doit être connue par cœur dans le programme. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.