Limite avec A ou Ɛ

Dans ce cours, nous allons aborder la définition formelle d'une limite, ce qui peut être déroutant pour les élèves, mais essentiel pour ceux qui poursuivent leurs études en mathématiques. Nous allons utiliser des exemples pour expliquer comment comprendre la définition d'une limite avec les epsilon. La suite Un est définie comme égale à 3n + 2. Nous voulons montrer que, pour tout réel A strictement supérieur à 0, il existe un entier naturel n0 tel que si n est supérieur à n0, alors Un est supérieur à A. En d'autres termes, peu importe à quel point A est grand, nous voulons montrer qu'à partir d'un certain rang n0, tous les termes de la suite sont supérieurs à cette barrière A. Si nous prenons A comme étant aussi grand que nous le souhaitons, y compris des valeurs très élevées, cela revient à définir une limite à l'infini. Nous résolvons l'équation 3n + 2 > A, ce qui nous donne n > (A - 2) / 3. Mais n doit être un entier naturel, donc nous ne pouvons pas dire que n0 est égal à cette expression. Pour montrer l'existence d'un entier n0, nous prenons la partie entière de (A - 2) / 3 + 1 comme valeur de n0. Ainsi, si n est supérieur à la partie entière de (A - 2) / 3 + 1, alors n sera également supérieur à (A - 2) / 3, ce qui signifie que Un sera supérieur à A. Cela correspond à la définition formelle de la limite à l'infini. Nous pouvons imaginer une barrière A1, A2, A3, etc., et il existera toujours un rang à partir duquel tous les termes de la suite seront au-dessus de cette barrière. Bien que les définitions formelles puissent sembler compliquées au départ, elles deviennent plus claires avec la pratique. Si vous avez des questions, consultez la FAQ.