Forme indéterminée 2 : la quantité conjuguée

Ce cours porte sur les méthodes de calcul pour les fonctions rationnelles, c'est-à-dire les polynômes divisés par d'autres polynômes. La technique utilisée est la même que pour les polynômes, on factorise par le terme de plus haut degré. Par exemple, si nous avons la suite Vn égale à 4n² sur n plus 1, nous identifions le terme de plus haut degré (2), et donc nous factorisons par n² en haut et par n en bas. Les n se simplifient et nous obtenons 4n au numérateur divisé par 1 plus 1 sur n qui tend vers 1. Ainsi, nous levons l'indétermination et constatons que par quotient, Vn tend vers plus infini. En outre, il existe trois cas possibles pour les fonctions rationnelles. Si le degré du polynôme au numérateur est strictement supérieur au degré du polynôme au dénominateur, celui-ci l'emporte et la limite tend vers plus infini. Si le degré du dénominateur est strictement supérieur au degré du numérateur, le dénominateur l'emporte et la limite tend vers 0. Si les degrés des polynômes au numérateur et au dénominateur sont égaux, la limite tend vers le rapport des coefficients dominants des deux polynômes. Par exemple, si nous prenons la suite Un égale à 3n² plus 2n plus 1 sur 4n² plus n plus 4, nous factorisons par le terme de plus haut degré (n²) en haut et en bas, ce qui nous donne 3 plus 2n plus 1 sur n² au numérateur, et 4 plus 1 sur n plus 4 sur n² au dénominateur. Finalement, la limite tend vers 3 quarts, le rapport des coefficients dominants. En conclusion, dès qu'il s'agit d'une fonction rationnelle, nous nous trouvons systématiquement dans l'un de ces trois cas.