Suite-fraction

La première méthode consiste à étudier les variations de la suite vn = 6n + 3 / (n + 1). On utilise le critère de croissance en calculant le ratio vn+1 / vn et on trouve que ce ratio est strictement supérieur à 1. Donc la suite vn est strictement croissante. Ensuite, on montre que la suite est majorée par 6 en utilisant le fait que vn + tigre = 6 si et seulement si 6n + 3 + tigre = 6, ce qui est vrai lorsque tigre = 6 - 3. Donc vn + tigre = 6. Enfin, en utilisant le théorème de convergence monotone, on conclut que la suite vn converge. Dans la deuxième méthode, on écrit vn sous une autre forme en utilisant le fait que vn = 6n + 3 / (n + 1) = (6(n + 1) - 3) / (n + 1). On sépare la fraction en deux et on obtient une fonction f(n) = 6 - 3 / (n + 1), qui est une fonction hyperbole décroissante. Comme f est décroissante sur R+, on en déduit que la suite vn est croissante. De plus, on remarque que 6 - 3 / (n + 1) est égal à 6 pour tout n entier. Donc la suite vn est majorée par 6. Enfin, on utilise la limite classique de 3 / (n + 1) qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Donc la limite de vn est 6. En résumé, la suite vn = 6n + 3 / (n + 1) est une suite croissante majorée par 6 et elle converge vers 6.