Prépa : Fibonacci

La suite de Fibonacci et le nombre d'or sont définis par une relation de récurrence où chaque terme est la somme des deux précédents. Pour calculer les termes de la suite, il faut connaître les deux premiers termes (u0 et u1). On cherche ensuite à trouver des réels (a, b, lambda, mu) tels que chaque terme puisse être exprimé sous forme d'une combinaison linéaire de sommes géométriques. Plutôt que de chercher à résoudre les équations directement, on peut analyser cette relation en se demandant s'il existe une seule somme géométrique qui pourrait vérifier cette relation, puis vérifier s'il y en a plus. En utilisant cette approche, on trouve que les valeurs possibles pour a et b sont les suivantes : a = (1 + √5)/2 (le nombre d'or) et b = (1 - √5)/2. En utilisant ces valeurs, on peut résoudre les 2 équations avec les 2 inconnus lambda et mu et trouver leurs valeurs respectives. Ainsi, on obtient les valeurs exactes pour les termes de la suite de Fibonacci. En résumé, la suite de Fibonacci peut être exprimée sous forme de sommes géométriques en utilisant les valeurs a et b (lesquelles sont calculées à partir du nombre d'or), et les constantes lambda et mu sont déterminées par les équations provenant des conditions initiales de la suite.