Inégalité fondamentale

Dans cette vidéo, nous allons étudier la relation entre une courbe et ses sécant. Nous avons déjà vu qu'une fonction convexe est située en dessous de ses sécant. Pour illustrer cela, nous pouvons observer le graphe suivant : une courbe rouge située sous des sécant bleues. Pour traduire cette relation, nous allons comparer la différence d'ordonnée entre un point sur le segment bleu et un point sur le segment rouge, pour une même abscisse située entre les abscisses A et B. Nous allons comparer ces deux points : celui sur le segment et celui sur la courbe rouge. L'idée est de démontrer que lorsque nous avons une fonction convexe, le point situé sur le segment a une ordonnée plus élevée que le point de même abscisse situé sur la courbe rouge. Cette inégalité sera un élément important de notre étude. Avec ces informations en tête, nous pouvons introduire un point d'abscisse intermédiaire entre A et B. Nous allons nommer ce point T, situé entre 0 et 1. En pondérant les abscisses de A et de B, nous pouvons calculer une moyenne. Ensuite, nous comparons l'image de ce point intermédiaire par la fonction F (la courbe rouge) avec l'image de cette abscisse par l'équation du segment bleu (la sécant). La difficulté dans cette démonstration est de montrer que cette expression, TF2X + (1-T)F2Y, correspond bien à l'image du point d'abscisse intermédiaire sur le segment. La démonstration complète est un peu complexe, mais si vous êtes intéressé, je peux la présenter dans une autre vidéo. En résumé, nous avons montré que pour une fonction convexe, le point intermédiaire entre deux points sur la sécant a une ordonnée plus élevée que le point correspondant sur la courbe. Cette inégalité est une traduction directe de la différence de position entre la courbe et la sécant. De plus, il existe un lien logique entre convexité et concavité : si une fonction est convexe, sa fonction inverse est concave et vice versa. N'hésitez pas à poser vos questions dans le forum et je vous retrouve dans la prochaine vidéo bonus pour la démonstration complète.