Dérivation Composition

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons corriger un exercice de dérivation portant sur des fonctions trigonométriques. Nous avons deux questions indépendantes, avec deux fonctions f utilisant des fonctions trigonométriques. Pour la première question, la fonction f(x) est définie comme sin(x) + cos(x) / (1 + cos(x)). Nous avons ici un quotient de fonctions. Avant de calculer la dérivée, il est important de vérifier le domaine de dérivabilité en résolvant l'équation 1 + cos(x) = 0. Nous savons que cos(x) est égal à -1 en pi et à des multiples de 2pi. Dans notre cas, nous étudions la fonction sur l'intervalle ouvert de 0 à pi, donc nous n'avons pas de problème d'annulation du dénominateur. La fonction est dérivable sur cet intervalle. Nous pouvons appliquer la formule de dérivation d'un quotient, qui est u'v - uv' / v^2. Ici, u(x) = sin(x) + cos(x) et v(x) = 1 + cos(x). Calculons les dérivées de u et v : u'(x) = cos(x) - sin(x) et v'(x) = -sin(x). En substituant dans la formule, nous obtenons f'(x) = (cos(x) - sin(x)) * (1 + cos(x)) - (sin(x)) * (sin(x) + cos(x)) / (1 + cos(x))^2. Après développement, nous obtenons f'(x) = 1 + cos(x) - sin(x) / (1 + cos(x))^2. C'est notre première dérivée. Maintenant, passons à la deuxième question qui concerne le produit de deux fonctions trigonométriques. Ici, pas de problème, la fonction est dérivable sur R car elle est composée de deux fonctions dérivables sur R. Nous avons un produit de la forme u(x) * v(x), avec u(x) = cos(2x) - 1 et v(x) = sin(5x) + 3. Appliquons la formule de dérivation d'un produit, qui est u'v + uv'. Calculons les dérivées de u et v : u'(x) = -2sin(2x) et v'(x) = 5cos(5x). En substituant dans la formule, nous obtenons f'(x) = -2sin(2x) * (sin(5x) + 3) + (cos(2x) - 1) * 5cos(5x). Après simplification, nous n'avons pas grand chose à faire de plus. Toutefois, il aurait été intéressant de vérifier si cela correspondait à une formule de trigonométrie connue, comme sin(A+B) ou cos(A+B), mais cela n'est pas possible ici avec les coefficients -2 et 5. Voilà pour les calculs de dérivées. N'hésitez pas à vous exercer sur des exercices similaires pour vous assurer que vous maîtrisez bien vos formules de dérivation. Vous pouvez également consulter nos flashcards pour vérifier vos connaissances. Bonne chance pour vos exercices !