Parité d'une fonction trigo

Dans cette vidéo, nous étudions la parité et la périodicité d'une fonction trigonométrique. Pour la périodicité, il faut deviner la période et démontrer qu'elle est correcte. Pour la parité, on teste f(-x) et on observe si cela correspond à f(x) ou à -f(x). Dans l'exemple donné avec la fonction f(x) = 7sin(x/2), on sait que sin(x) est périodique de période 2π. En multipliant le x par k à l'intérieur du sinus, la période devient 2π/k et si on divise par k, la période devient 2πk. Comme k est égal à 2 dans cet exemple, nous savons déjà que la période sera de 4π. En représentant graphiquement la fonction sinus et la fonction sinus de 2x, on voit que l'augmentation de k diminue la période tandis que la diminution de k l'augmente jusqu'à ce que k tende vers 0. Pour montrer que f est périodique de 4π, nous effectuons le calcul f(x+4π) qui donne sin(x+4π/2) = sin(x/2) + 4π/2, qui est équivalent à f(x). Ainsi, nous avons démontré que f est périodique de 4π. Ensuite, pour montrer la parité de f, nous devons vérifier que son ensemble de définition est centré sur 0. Dans notre cas, ce n'est pas un problème car f est définie sur R, centré sur 0. En effectuant f(-x), on obtient 7sin(-x/2) = -f(x), ce qui démontre que f est impaire. Il est important de vérifier que l'ensemble de définition est centré sur 0, comme dans l'exemple de la fonction g définie sur R privé de 1, qui n'est pas impaire car son ensemble de définition n'est pas centré sur 0. En résumé, pour la périodicité, il faut deviner la période et la démontrer, tandis que pour la parité, il suffit de faire le test et conclure si la fonction est impaire ou paire.