Intégrale et Primitive : calcul

Dans cette vidéo, le professeur présente une propriété fondamentale liée au calcul intégral. Il explique que cette propriété diffère du théorème fondamental abordé précédemment. La propriété démontrée ici est la suivante : si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b], et F est une primitive quelconque de f sur cet intervalle, alors l'aire sous la courbe de f entre a et b est égale à la différence entre les valeurs de F en b et en a. Le professeur précise que cette propriété utilise uniquement les connaissances acquises dans le chapitre des primitives, sans mentionner la forme spécifique de F sous forme d'intégrale. Il présente également une notation souvent utilisée en mathématiques, où F(b) - F(a) est noté [F(x)]b-a. Ensuite, le professeur explique que cette propriété peut être généralisée pour des fonctions de tout signe, en considérant toujours une primitive quelconque F. La démonstration de cette généralisation est présentée dans la vidéo. Le professeur insiste sur le fait que la démonstration repose sur la connaissance de la primitive G obtenue grâce au théorème fondamental. Il explique qu'il existe un K réel tel que toute primitive F de f s'écrive F(x) = G(x) + K. En utilisant cette expression, le professeur démontre que pour une primitive quelconque F, l'aire sous la courbe de f entre a et b est égale à G(b) - G(a), qui est équivalent à l'intégrale de f entre a et b. Ainsi, la propriété est validée. En conclusion, le professeur souligne l'importance de connaître les primitives et leur forme pour démontrer cette propriété rapidement. Il invite les élèves à poser des questions s'ils en ont, et annonce la prochaine vidéo.