Vers la sup : racine puissance n

Bienvenue dans cet exercice sur l'utilisation du théorème de Bézout. Nous devons calculer différentes expressions impliquant la racine de 6 et effectuer une décomposition en facteurs premiers. Nous utilisons ensuite ces résultats pour répondre à plusieurs questions. Tout d'abord, nous calculons 1 plus la racine de 6 au carré, ce qui donne 7 plus 2 fois la racine de 6. Ensuite, nous calculons (1 plus la racine de 6) puissance 4, qui nous donne 73 plus 28 fois la racine de 6. Enfin, nous calculons (1 plus la racine de 6) puissance 6, ce qui nous donne 847 plus 342 fois la racine de 6. Ensuite, nous décomposons les nombres 847 et 342 en facteurs premiers et observons qu'ils sont premiers entre eux, car ils n'ont aucun diviseur commun dans leur décomposition en facteurs premiers. Dans la deuxième question, nous généralisons ces résultats en introduisant des valeurs an et bn dépendant de n. Nous constatons que a1 et b1 sont égaux à 1, puis nous trouvons d'autres valeurs en suivant les mêmes calculs. Par exemple, a2 est égal à 7, b2 est égal à 2, a4 est égal à 73, b4 est égal à 28, a6 est égal à 847 et b6 est égal à 342. Nous calculons ensuite an plus 1 et bn plus 1 en fonction de an et bn en utilisant une règle de calcul des puissances. Nous obtenons que an plus 1 est égal à an plus 6 fois bn, et bn plus 1 est égal à an plus bn. Une des questions les plus difficiles de l'exercice consiste à montrer que si 5 ne divise pas an plus bn, alors 5 ne divise pas non plus an plus 1 et bn plus 1. Nous démontrons cela en utilisant la contraposée de l'implication. Nous montrons que si 5 divise an plus 1 et bn plus 1, alors 5 divise an plus bn en utilisant des propriétés arithmétiques et le lemme de Gauss. Ensuite, nous démontrons que si an et bn sont premiers entre eux, alors an plus 1 et bn plus 1 le sont également. Nous prouvons cette assertion en exprimant an et bn en fonction de an plus 1 et bn plus 1, et en utilisant le théorème de Bézout. En concluant par récurrence, nous en déduisons que an et bn sont toujours premiers entre eux. En résumé, cet exercice nous a permis d'appliquer le théorème de Bézout, de calculer des expressions impliquant la racine de 6, de décomposer des nombres en facteurs premiers et de démontrer des propriétés arithmétiques.