Téléscopage !

Ce cours porte sur les limites de suites définies comme des sommes de termes d'autres suites. Le premier point abordé est la détermination de la limite de la suite Un, qui est égale à 1/n. On conclut que Un tend vers 0. Ensuite, on doit montrer que pour toute valeur n appartenant à l'ensemble N (ensemble des entiers naturels), Un est égal à 1/n - 1/(n+1). On utilise une méthode de démonstration en partant de cette expression et en simplifiant jusqu'à retomber sur Un. On est ainsi en mesure de prouver cette égalité. Finalement, on nous demande de calculer la somme Sn de la suite Un. On utilise la relation trouvée dans la question précédente, qui permet de réécrire Sn. Cette réécriture simplifie la somme en éliminant plusieurs termes, grâce à une propriété appelée somme télescopique. On en déduit que la limite de Sn lorsque n tend vers l'infini converge vers 1. Ainsi, on peut conclure que la limite de la suite Un tend vers 0, et la limite de la somme Sn tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.