Prépa : Fibonacci

Le cours parle de la suite de Fibonacci et du nombre d'or. La suite de Fibonacci est définie par récurrence, où chaque terme est la somme des deux termes précédents. Pour calculer les termes de la suite, on a besoin des deux premiers termes, qui sont tous deux égaux à 1. L'objectif est de trouver des réels a, b, lambda et mu tels que chaque terme de la suite puisse être exprimé comme une combinaison linéaire de termes géométriques. Plutôt que de tenter de résoudre les quatre inconnues simultanément, il est plus judicieux de considérer les termes géométriques qui pourraient vérifier cette relation. En effectuant cette approche, on trouve deux termes possibles : a = (1 - √5)/2 et b = (1 + √5)/2 (le nombre d'or). En utilisant ces deux termes, on peut alors résoudre un système d'équations pour trouver les valeurs de lambda et mu. Les valeurs obtenues sont lambda = (-1 + √5)/√5 et mu = (1 + √5)/(2√5). En analysant les propriétés des termes géométriques, on peut conclure que b^n tend vers b, tandis que a^n tend vers 0 car a est compris entre 0 et -1. Par conséquent, la limite de la somme des termes de la suite de Fibonacci divise le nombre d'or par la racine carrée de 5. En résumé, la suite de Fibonacci et le nombre d'or sont des sujets abordés dans le cours. On cherche à exprimer les termes de la suite comme une combinaison linéaire de termes géométriques, et on trouve deux termes possibles. La limite de la somme des termes de la suite divise le nombre d'or par la racine carrée de 5.