Théorème de comparaison - Illustration

Le théorème de comparaison est un outil précieux en mathématiques qui permet d'économiser beaucoup d'efforts. En résumé, il dit que si une suite Vn, quel que soit son aspect peu attrayant, peut être comparée à une autre suite plus simple, et si cette dernière tend vers l'infini, alors la première tendra également vers l'infini. Ce théorème est pratique car il permet d'éviter des démonstrations compliquées avec des epsilon et des grands A. Parfois, la suite Vn peut être de forme ingérable et difficile à manipuler. Dans ces cas-là, on utilise le théorème de comparaison en trouvant une autre suite plus simple, Un, telle que Vn soit plus grande que Un. En utilisant cette comparaison, on peut conclure que Vn tend vers l'infini. Un exemple concret est donné pour illustrer le théorème. Si Vn est égal à l'exponentielle de la racine de n² plus 1, il est difficile de dire quelque chose de précis sur son comportement. Cependant, en comparant cette suite à la suite Un égale à la racine de n², on peut conclure que Vn est strictement plus grand que Un. Sachant que l'exponentielle est une fonction croissante, on peut alors affirmer que l'exponentielle de racine de n² plus 1 est strictement plus grande que l'exponentielle de n. Comme l'exponentielle de n est une suite géométrique qui tend vers l'infini, on peut en déduire que Vn tend également vers l'infini sans avoir à étudier le comportement détaillé de Vn. En résumé, le théorème de comparaison permet d'économiser des efforts en trouvant une suite plus simple à laquelle on peut comparer une suite plus complexe. Si la suite simple tend vers l'infini, alors la suite complexe tendra également vers l'infini. C'est un outil puissant en mathématiques qui facilite les démonstrations et permet de conclure plus rapidement.