Étude f : Niveau MPSI mais outils de première !

Ce cours porte sur l'étude d'une famille de fonctions de la forme f(x) = E(2x) / (x^n), où n est un entier naturel non nul. On explore le comportement de ces fonctions et on se pose différentes questions sur leur domaine de définition et de dérivabilité, ainsi que sur leur variation en fonction de la parité de n. Tout d'abord, on détermine le plus grand ensemble de définition possible pour f, en évitant les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est nul. Ensuite, on constate que f est dérivable sur tout son ensemble de définition, car elle est le produit d'une exponentielle et d'une fraction de polynôme, sans problème particulier de dérivabilité. En supposant que n est pair, on nous demande de dresser le tableau de variation de f sans préciser les limites aux bornes. Pour cela, on réécrit f(x) en utilisant la règle de dérivation, puis on factorise certains termes. On étudie ensuite le signe de x^n - 1 pour déterminer les changements de signe de la dérivée. En utilisant ces informations, on peut tracer le tableau de variation de f et calculer les limites de f(x) en plus l'infini et en moins l'infini, ainsi qu'en 0 plus et 0 moins. Ensuite, on suppose que n est impair et on fait de même pour dresser le tableau de variation de f. La différence avec le cas précédent est que tous les termes de f(x) sont positifs, sauf x^n - 1 qui change de signe. On calcule alors les limites de f(x) en plus l'infini, en moins l'infini, en 0 plus et 0 moins, en prenant en compte les valeurs de x^n et de x^n - 1, ce qui donne des résultats différents du cas précédent. En résumé, ce cours explique comment étudier une famille de fonctions en fonction de la parité de l'entier n, en déterminant leur domaine de définition, leur dérivabilité, leur tableau de variation et leurs limites aux bornes. La division des cas en fonction de la parité de n est essentielle pour comprendre le comportement de ces fonctions.