Inégalité fondamentale

Dans cette vidéo, nous allons traduire la relation entre une courbe et une séquente afin de comprendre la convexité. Nous avons déjà vu qu'une fonction convex est en dessous de ses séquentes. Pour illustrer ce concept, on peut observer le graphique suivant : une courbe rouge en dessous de séquentes bleues. Maintenant, nous allons étudier la différence d'ordonnée entre un point sur le segment bleu et un point sur la courbe rouge, pour une même abscisse entre les points A et B. Nous allons comparer ces deux points pour démontrer que, dans une fonction convex, le point sur le segment a une ordonnée plus élevée que le point sur la courbe rouge. Ensuite, nous allons introduire un point T entre les abscisses de A et B. Nous allons prendre une moyenne pondérée des abscisses de A et B pour trouver l'abscisse de ce point T. Ensuite, nous allons comparer l'image de ce point T sur la courbe rouge à l'image de cette abscisse sur l'équation du segment de la séquente. La difficulté réside dans la démonstration de cette comparaison. Les démonstrations sont souvent précipitées et acceptent rapidement que cette comparaison soit valide. Dans cette vidéo, nous allons présenter une démonstration abrégée, mais nous vous proposons également une démonstration plus complète pour ceux qui sont intéressés. Pour résumer, la démonstration abrégée consiste à prendre deux réels X et Y, un réel T entre 0 et 1, et les points A (d'abscisse X, F(X)) et B (d'abscisse Y, F(Y)). On prend également un point M d'abscisse intermédiaire (TX + 1 - TY), comme indiqué sur le graphique. La démonstration montre que F(TX + 1 - TY) est en dessous du segment, ce qui traduit directement la différence de position entre les points. En conclusion, lorsque F est convexe, M est situé au-dessus du point d'abscisse TX + 1 - TY, F(TX + 1 - TY), qui est situé sur la courbe, d'où l'inégalité. Il est important de noter qu'il existe un lien logique entre convexité et concavité. Si F est convexe, -F est concave, et vice versa. Par exemple, E2X est convexe et -E2X est concave. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans le forum. Dans la prochaine vidéo bonus, je présenterai une démonstration complète pour ceux qui souhaitent en savoir plus sur le sujet.