On redécouvre le log ?!

Dans ce cours, nous cherchons à déterminer les fonctions qui vérifient les conditions suivantes : f(2ab) = f(2a) + f(2b) et f'(1) = 1. Nous remarquons que cela ressemble à la relation fonctionnelle du logarithme. Nous supposons que f est non nulle et nous montrons par l'absurde que f ne peut pas être définie en 0. En supposant que f est définie en 0, nous obtenons f(0) = 0. Nous essayons ensuite de montrer que f est égale à 0 pour tous les réels possibles en prenant des valeurs simples pour a et b. Cependant, cela entraîne une contradiction avec la condition de non-nullité de f. Nous concluons donc que f ne peut pas être définie en 0. Ensuite, nous considérons des fonctions définies sur les réels positifs non nuls. Nous montrons rapidement que f(1) = 0 et que f(x/y) = f(x) - f(y). Pour démontrer cette dernière propriété, nous utilisons une astuce similaire à celle utilisée pour démontrer que log(a/b) = log(a) - log(b). Nous remarquons que f(x/y) peut être écrit comme f(x) * (1/y), ce qui est égal à f(1) = 0 compte tenu de notre démonstration précédente. Nous concluons donc que f(x/y) = f(x) - f(y). Nous passons ensuite à l'étude des taux d'accroissement et montrons que f'(x) = 1/x. Nous écrivons f(x + h) en utilisant la propriété précédente et la valeur de f(1) = 0. En simplifiant l'expression et en prenant la limite lorsque h tend vers 0, nous montrons que cela équivaut à f'(x) = 1/x. Enfin, nous déterminons le sens de variation de f sur l'intervalle (0, +∞) en examinant le signe de f. Nous avons déjà montré que f(1) = 0, donc f est négatif pour les valeurs de x inférieures à 1 et positif pour les valeurs de x supérieures à 1. En résumé, ce cours démontre comment retrouver les propriétés du logarithme en utilisant les conditions f(2ab) = f(2a) + f(2b) et f'(1) = 1. Nous montrons également que f(1) = 0, f(x/y) = f(x) - f(y) et f'(x) = 1/x. Nous concluons en déterminant le sens de variation de f sur l'intervalle (0, +∞).