Ln : Limites

Dans ce cours, nous nous intéressons aux calculs de limites impliquant la fonction ln. Le principe général consiste à factoriser par le terme dominant pour simplifier le calcul. Lorsque nous avons une expression avec le ln, nous cherchons à la ramener à des limites usuelles. Nous examinons cela cas par cas. Dans le premier exemple, nous avons l'expression 2ln(2x²) - 5ln(2x) ± 1. En factorisant par ln(2x²), nous obtenons 2, 5/ln(2x), et 1/ln(2x²), qui tendent tous vers 0. Ainsi, la limite de cette expression est +∞. Dans le deuxième exemple, nous avons ln(√x) / ln(2x) en +∞. Comme il n'y a qu'un seul terme au numérateur et un seul terme au dénominateur, nous utilisons les propriétés du logarithme pour transformer l'expression. Nous savons que ln(A*B) est égal à ln(A) + ln(B), et donc, ln(x^(1.5)) est égal à 1.5*ln(x). Nous factorisons ensuite par 1.5, obtenant x*ln(x) / (ln(2) + ln(x)). En factorisant par ln(x), nous obtenons 1 + ln(2) / ln(x), qui tend vers 0. Finalement, cette fraction tend vers 1.5. Dans le troisième exemple, nous avons la limite en 1 de (x-1)^2 * ln(x-1). En utilisant la limite usuelle x*ln(x), nous posons g(x) = x-1, afin de transformer l'expression en g(x)^2 * ln(g(x)). Cela revient à x^2 * ln(x), qui est une limite usuelle tendant vers 0. Ainsi, la limite recherchée est égale à 0. En utilisant les propriétés du logarithme, ln(AB) = ln(A) + ln(B) et ln(A^n) = n*ln(A), nous pouvons simplifier ces calculs de limites faisant intervenir le ln. Si vous avez des questions supplémentaires, consultez la FAQ.