Dérivation Composition

Bonjour à tous, nous allons corriger cet exercice de dérivation portant sur des fonctions trigonométriques. Nous avons deux questions indépendantes, avec deux fonctions f utilisant des fonctions trigonométriques. Nous allons effectuer un calcul classique de dérivation en utilisant les fonctions sin et cos. Pour la première question, la fonction f(x) est définie comme étant sin(x) + cos(x) sur 1 + cos(x). Nous remarquons qu'il s'agit d'un quotient. Comme d'habitude, il est nécessaire de vérifier le domaine de dérivabilité avant de calculer la dérivée. Comme nous avons un dénominateur, nous devons vérifier quand ce dernier s'annule. Nous résolvons donc l'équation 1 + cos(x) = 0, ce qui signifie que cos(x) = -1. Sachant que nous connaissons le cercle trigonométrique, nous savons que cosinus vaut -1 en pi. Dans le cercle trigonométrique, cela correspond à la partie gauche en pi et modulo 2pi, donc pi + 2kpi appartenant à Z. Nous devons étudier la fonction sur l'intervalle ouvert 0 < x < pi, nous n'avons donc pas de problème d'annulation du dénominateur. La fonction est bien dérivable sur cet intervalle. La fonction est de la forme u/v, un quotient. Nous appliquons la formule classique de la dérivée du quotient, qui est u'v - uv'/v². Ici, u(x) = sin(x) + cos(x) et v(x) = 1 + cos(x). Nous appliquons simplement la formule en calculant u'(x) = cos(x) et v'(x) = -sin(x). En développant tous les termes, nous obtenons la dérivée de f(x) : f'(x) = (1 + cos(x) - sin(x)) / (1 + cos(x))². Pour la deuxième question, nous avons un produit de deux fonctions trigonométriques. Cela ne pose aucun problème, car il est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R. Nous pouvons écrire f(x) comme étant u(x) * v(x). Nous utilisons la formule de dérivation pour un produit, qui est f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x). Dans notre cas, la dérivée de cos(2x - 1) est une dérivée composée de la forme cos(2w), où g(x) = cos(x) et h(x) = 2x - 1. Nous calculons la dérivée de 2x - 1, qui est égale à 2. Ainsi, nous obtenons -2sin(2x - 1). Nous effectuons la même opération pour la dérivée de sin(5x + 3), qui est égale à 5cos(5x + 3). Maintenant que nous connaissons les dérivées de u et v, nous pouvons appliquer la formule f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x). Ainsi, nous obtenons f'(x) = -2sin(2x)sin(5x + 3) + 5cos(2x - 1)cos(5x + 3). Il n'y a pas grand-chose à simplifier dans cette expression. Cependant, nous aurions pu remarquer qu'elle ressemble à la formule d'addition sin(A)sin(B) + cos(A)cos(B). Il aurait été intéressant de vérifier si cela correspond à cos(A + B) ou sin(A + B). Cependant, avec les coefficients -2 et 5, cela n'est pas possible. Donc ici, nous ne pouvons pas simplifier davantage. Voilà pour ces calculs de dérivées. N'hésitez pas à vous exercer sur des exercices similaires pour vous assurer que tout est correct. N'oubliez pas également de consulter les fiches mémoires pour vérifier si vous connaissez bien vos formules de dérivation. Cela devrait suffire pour ce type d'exercice.