Parité d'une fonction trigo

Bonjour ! Dans ce cours, nous allons étudier la parité et la périodicité d'une fonction trigonométrique. Pour la périodicité, il est important de deviner la période probable de la fonction et de le démontrer ensuite. Pour la parité, il est plus simple de tester la fonction en remplaçant x par -x et de voir si cela donne f(x) ou -f(x). Dans notre exemple, nous avons la fonction f(x) = 7 sin(x/2). Il est essentiel de savoir que la fonction sin(x) est périodique de 2π. En utilisant l'astuce sin(kx), nous pouvons déduire que f(x) est périodique de 4π (puisqu'elle est de la forme sin(2x)). Visuellement, si nous augmentons k, la période diminue, et si nous diminuons k, la période s'étend. Pour notre exemple, nous savons avant même de faire les calculs que f(x) est périodique de 4π. Pour le prouver, nous pouvons montrer que f(x + 4π) = f(x). Ensuite, pour étudier la parité de f, il faut vérifier que son ensemble de définition est centré sur 0. Dans notre cas, il n'y a pas de problème, c'est R. En remplaçant x par -x dans la fonction, nous obtenons -f(x), ce qui prouve que f est impaire. Il est important de vérifier que l'ensemble de définition est bien centré sur 0, comme dans l'exemple de la fonction g définie sur R privé de 1, qui n'est pas impaire car son ensemble de définition n'est pas centré sur 0. En résumé, pour la périodicité, il faut deviner la période probable et la démontrer. Pour la parité, il suffit de tester en remplaçant x par -x pour voir si cela donne f(x) ou -f(x). Voilà pour ce cours sur la parité et la périodicité.