Inéquation de degré 3

Dans cette vidéo, on résout une inéquation trigonométrique de degré 3. L'astuce pour résoudre ce genre d'exercice est de poser un changement de variable, en l'occurrence x = cos(x). On nous donne une équation trigonométrique avec du cos(3x) et du cos(2x), et on nous demande de déterminer les solutions. Tout d'abord, on vérifie que f(1) = 0, ce qui nous permet de trouver une racine évidente. Ensuite, on détermine les valeurs de a, b et c pour réécrire f(2x) sous la forme ax² + bx + c. On utilise la méthode d'identification pour obtenir les valeurs de a=2, b=-1 et c=-1. En remplaçant dans l'expression de f, on obtient f(x) = (x-1)(2x²-x-1). Ensuite, on étudie le signe de f en utilisant un tableau de signes. On détermine les racines du polynôme en résolvant l'équation 2x²-x-1=0. Pour résoudre l'inéquation cos(3x) - 3cos²(x) + 1 > 0 dans l'intervalle [0, 2π], on utilise le changement de variable x = cos(x) et on résout cos(x) > -1,5. On utilise le cercle trigonométrique pour trouver les valeurs de cos(x) supérieures à -1,5 dans l'intervalle [0, 2π]. On obtient deux intervalles de solutions: [0, 2π/3] et [4π/3, 2π]. Finalement, on vérifie que les solutions obtenues respectent les intervalles demandés. Il est important de raisonner rigoureusement et de visualiser les solutions en utilisant le cercle trigonométrique.