Suite d'Intégrales

Dans ce cours, nous étudions une suite d'intégrales et essayons de trouver sa convergence. La suite de fonctions fn est définie pour t, valant 1 sur 1 plus t à la puissance n, et l'intégrale de 0 à 1 de cette fonction est notée in. Pour encadrer cette fonction, nous utilisons deux méthodes. La première méthode consiste à construire des inégalités. Nous constatons que 1 plus t à la puissance n est compris entre 1 et 2, et en prenant l'inverse, nous obtenons 1 sur 1 plus t à la puissance n compris entre 1 et 1,5. Cependant, cette méthode ne fonctionne pas pour l'autre inégalité. Dans ce cas, nous utilisons la méthode de la différence. Nous prenons la différence entre 1 sur 1 plus t à la puissance n et 1 moins t à la puissance n et montrons qu'elle est positive en simplifiant. Ainsi, nous obtenons que 1 moins t à la puissance n est plus petit que 1 sur 1 plus t à la puissance n. Nous avons donc deux encadrements pour la fonction fn. Ensuite, nous calculons l'intégrale de 0 à 1 de 1 moins t à la puissance n en utilisant la linéarité de l'intégrale. Nous obtenons 1 moins 1 sur n plus 1, que nous simplifions en n sur n plus 1. À partir de ces résultats, nous déduisons un encadrement de l'intégrale in. En utilisant la monotonie de l'intégrale, nous calculons l'intégrale de chacune des fonctions encadrantes de 0 à 1. Ainsi, nous encadrons l'intégrale in. Finalement, nous devons montrer que la suite in converge et donner sa limite. En réécrivant n sur n plus 1 sous la forme 1 moins 1 sur n plus 1, nous voyons que cela tend vers 1. Par conséquent, nous utilisons le théorème d'encadrement pour montrer que la suite in converge vers 1. En conclusion, ce cours traite de méthodes pour étudier les suites d'intégrales et montre un exemple de ces méthodes en action.