Permutations : application

Dans ce cours, nous examinons la gestion des permutations. Une permutation se produit lorsque nous avons un ensemble ou une liste et que nous voulons savoir combien de façons il existe de changer l'ordre de cet ensemble, car un ensemble n'a pas d'ordre spécifique. Par exemple, si nous avons les numéros gagnants d'une loterie, combien de façons pouvons-nous réarranger ces numéros une fois le tirage effectué ? C'est ce que nous allons voir dans cette méthode. Prenons un exemple concret : nous avons une conférence avec 12 scientifiques, dont 6 hommes et 6 femmes. Parmi eux, il y a 5 mathématiciens, 3 physiciens et 4 biologistes. Chaque domaine de science a décidé d'utiliser une méthode de placement différente. Quelles sont les possibilités pour chaque méthode ? La première méthode, celle des mathématiciens, consiste à se placer au hasard. Cela signifie que nous avons 12 personnes dont nous connaissons l'identité, et nous voulons savoir combien de façons nous pouvons les positionner. Cela correspond à la définition même d'une permutation. Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est noté n! (n factorielle). Par exemple, pour 12 personnes, il y a 12! façons possibles de les positionner. Cela peut monter très rapidement, et dans ce cas précis, il y a 479 millions de façons de positionner ces scientifiques. C'est la méthode la plus aléatoire, car il n'y a aucune contrainte. La deuxième méthode, celle des physiciens, consiste à rester ensemble. Les physiciens préfèrent rester côte à côte, tandis que les autres scientifiques peuvent être répartis n'importe où ailleurs. Il y a trois physiciens qui doivent rester ensemble, donc il y a 10 positions possibles pour eux dans la liste. Ensuite, les physiciens eux-mêmes peuvent permuter les uns avec les autres, ce qui donne 3! (3 factorielle) permutations possibles. Une fois la position du premier groupe fixée, il reste 9 personnes à positionner de manière aléatoire, ce qui donne 9! permutations possibles. En appliquant le principe multiplicatif, le nombre total de possibilités est de 10 x 6 x 9! (soit environ 21 millions de possibilités). C'est déjà beaucoup moins que la méthode précédente, car il y a des contraintes. La troisième méthode, celle des biologistes, consiste à regrouper les hommes et les femmes. Il y a deux façons de positionner ces deux groupes. Ensuite, à l'intérieur de chaque groupe, les permutations possibles sont de 6! pour les femmes et de 6! pour les hommes. En appliquant le principe multiplicatif, le nombre total de possibilités est de 2 x 6! x 6! (soit environ 1 036 800 possibilités). Encore une fois, le nombre de possibilités est beaucoup plus limité en raison des contraintes imposées. Ces exemples illustrent comment compter les permutations dans des situations simples. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.