Récurrence et croissance

La démonstration par récurrence est une méthode utilisée en mathématiques pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les termes d'une suite. Voici les étapes de cette méthode : 1. Définir la propriété P(2n) qui est vraie pour le terme au rang n. Dans notre exemple, nous voulons prouver que la suite est strictement décroissante, donc nous devons montrer que Un+1 < Un. 2. Commencer par l'initialisation en montrant que la propriété est vraie pour le premier terme. Dans notre exemple, nous calculons U1 et U0 pour vérifier cette condition. 3. Supposer que la propriété est vraie pour le terme Un, c'est-à-dire que P(n) est vrai. 4. Montrer que la propriété est vraie pour le terme Un+1, c'est-à-dire P(n+1) est vrai. Dans notre exemple, nous utilisons la relation de récurrence Un+1 = 2Un - 6. 5. Utiliser une fonction affine f(x) = 2x - 6 pour simplifier la démonstration. Cette fonction est strictement croissante, donc si Un+1 < Un, alors f(Un+1) < f(Un). 6. Conclure que la propriété est vraie pour tous les termes de la suite en utilisant le principe de récurrence. Il est important de bien préciser que Un représente le terme de la suite, tandis que U(n) représente l'objet suite. Il est préférable d'utiliser des parenthèses lorsqu'on parle de la suite pour éviter toute confusion. En résumé, la démonstration par récurrence est une méthode utilisée pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les termes d'une suite. Dans notre exemple, nous avons montré que la suite est strictement décroissante en suivant les étapes de cette méthode.