Conjecture puis récurrence

Dans ce cours, nous étudions comment utiliser la démonstration par récurrence pour calculer la somme des entiers de 1 à n. La formule pour calculer la somme des entiers naturels est nn plus 1 sur 2. Pour utiliser la démonstration par récurrence, il est important de connaître le résultat que nous voulons démontrer, c'est-à-dire la formule de la somme des entiers naturels. Nous supposons que la proposition p2n est vraie pour tout n appartenant à n étoiles. La proposition p2n est que la somme des entiers de 1 à n est égale à nn plus 1 sur 2. Nous commençons par vérifier l'initialisation, c'est-à-dire lorsque n est égal à 1. Dans ce cas, la somme est simplement 1, ce qui correspond bien à nn plus 1 sur 2. Ensuite, nous passons à l'hérédité. Nous supposons que p2n est vraie et nous voulons montrer que p2n plus 1 est vraie. Pour cela, nous remplaçons chaque n par n plus 1 dans l'expression de p2n. Par exemple, nn plus 1 devient (n plus 1)(n plus 1) plus 1 sur 2. Nous développons cette expression et nous obtenons (n plus 1)(n plus 2) sur 2, ce qui est équivalent à p2n plus 1. Nous avons donc démontré que pour tout n appartenant à n étoiles, la somme des entiers de 1 à n est égale à nn plus 1 sur 2. Cela conclut notre exemple de démonstration par récurrence pour la formule de la somme des entiers naturels.