Comparaison et encadrement

Dans ce cours, nous étudions deux théorèmes de comparaison pour les fonctions. Le premier théorème de comparaison stipule que si deux fonctions f et g vérifient f tend vers plus l'infini et g est plus grande que f, alors f va également tendre vers plus l'infini. En d'autres termes, si f pousse vers l'infini, g va suivre cette tendance. Pour illustrer cela, nous prenons l'exemple de deux fonctions : f(x) = x²/4 + x et g(x) = x²/32 + x. En tracant les graphiques de ces fonctions, nous voyons que g est toujours au-dessus de f. Ainsi, si f tend vers plus l'infini, cela signifie que g va également tendre vers plus l'infini, car g est "poussée" par f. Le second théorème, appelé le théorème des gendarmes ou d'encadrement, affirme que si deux fonctions, f et h, encadrent une fonction g et que f et h tendent vers la même limite, alors g tendra également vers cette limite. Pour illustrer cela, nous prenons l'exemple de trois fonctions : f(x) = 3 + 1/x, g(x) = 3 + 5/x, et h(x) = 3 - 5/x. Nous voyons que g est comprise entre f et h. De plus, si f et h tendent vers 3, alors g tendra également vers 3. Ces théorèmes sont utiles pour comparer et analyser des fonctions sans avoir à étudier en détail des aspects complexes. Ils permettent de donner des indications sur le comportement d'une fonction en se basant sur des fonctions plus simples. Cela peut être très pratique pour résoudre des exercices qui demandent de déterminer des limites ou des tendances de fonctions. N'hésitez pas à me poser des questions ou à laisser des commentaires dans la FAQ si vous avez besoin de plus d'explications. Bonne journée ou soirée à vous.