Double racine

Dans ce cours, il est question de la fonction f(x) = √(x + √(1 + x^2)). Tout d'abord, il est demandé de montrer que f est définie sur R, l'ensemble des réels. Pour cela, il faut vérifier que les racines dans la fonction sont bien définies. On peut constater que pour x supérieur à 0, il n'y a pas de problème car tous les termes sont positifs. En revanche, pour x inférieur à 0, il faut comparer les deux termes de la seconde racine. On peut voir que √(1 + x^2) est supérieur à |x|, donc la racine est définie pour toute valeur de x appartenant à R. Ensuite, la dérivabilité de f sur R est abordée. On rappelle que la fonction racine n'est pas dérivable en 0. Ici, on décompose la fonction dans la forme f(x) = x + √(1 + x^2) et on vérifie que les termes à l'intérieur des racines sont strictement positifs, ce qui nous permet de dire que f est dérivable sur R. On calcule ensuite la dérivée de f en utilisant la formule de dérivation de la fonction racine. On obtient ainsi f'(x) = (√(1 + x^2) + x)/(√(1 + x^2)). On constate que les termes numérateur et dénominateur sont tous deux strictement positifs, ce qui indique que f est strictement croissante sur R. Ensuite, les limites de f en moins l'infini et plus l'infini sont étudiées. Pour la limite en plus l'infini, on observe que les deux racines tendent vers plus l'infini et donc f tend également vers plus l'infini. Pour la limite en moins l'infini, on utilise la quantité conjuguée pour simplifier l'expression de f et on obtient que f tend vers 0. Enfin, le tracé de la courbe de f est abordé, en notant que la fonction tend vers moins l'infini en 0 et vers plus l'infini en plus l'infini.