Étude f : Niveau MPSI mais outils de première !

Ce cours traite de l'étude d'une fonction E2x/x^n, où n est un entier naturel non nul. On commence par analyser une famille de fonctions dépendant de l'entier n, telles que f1 = E2x/x^1, f2 = E2x/x^2, etc. On détermine que le plus grand ensemble de définition possible pour f est tout sauf lorsqu'on divise par zéro. En ce qui concerne la dérivabilité, f est dérivable sur tout son ensemble de définition. On suppose ensuite que n est pair, et on dresse le tableau de variation de f sans préciser les limites aux bornes. On observe que le signe de la dérivée f' est positif strict puisque tous les termes sont positifs. On calcule ensuite les limites de f en l'infini, en -infini et en 0, en utilisant les propriétés de croissance comparée et en prenant en compte les termes de la fonction. Enfin, on réalise une étude similaire pour le cas où n est impair, en observant cette fois-ci que le signe de la dérivée f' change à la valeur 2p+1. Les limites de f en l'infini sont les mêmes que dans le cas précédent, mais les limites en 0 varient en fonction de la parité de n.