Parité d'une fonction trigo

Bonjour! Dans cette leçon, nous allons étudier la parité et la périodicité d'une fonction trigonométrique. Pour déterminer la périodicité, nous devons deviner la valeur et la démontrer. Pour la parité, nous testons f(-x) pour voir si cela équivaut à f(x) ou -f(x). Dans cet exemple, nous prenons la fonction f(x)=7sin(x/2). La fonction sin(x) est périodique avec une période de 2pi, ce qui est un fait connu. En utilisant cette astuce, nous savons que sin(kx) est périodique avec une période de 2pi/k. Si nous multiplions par k, nous obtenons une période de 2pi/k, et si nous divisons par k, nous obtenons une période de 2pi*k. Dans cet exemple, puisque k=2, nous savons avant même de faire les calculs que la période sera de 4pi. Nous représentons graphiquement la fonction sinus et la fonction sinus de 2x, qui a une période plus courte. Nous pouvons voir que si nous augmentons k, la période diminue, et si nous diminuons k, la période s'allonge jusqu'à ce que k tende vers 0. Pour démontrer que f est périodique de 4pi, nous effectuons le calcul f(x+4pi), qui est équivalent à sin(x+4pi/2). En simplifiant, nous obtenons sin(x+2pi), qui est la même chose que sin(x). Ainsi, nous prouvons que f est périodique de 4pi. Ensuite, nous examinons la parité de f. Pour cela, nous devons nous assurer que le domaine de définition de la fonction est centré sur 0. Dans cet exemple, le domaine de définition est R, ce qui est bien centré sur 0. Nous calculons f(-x), qui est équivalent à 7sin(-x/2). En utilisant le fait que la fonction sinus est impaire, nous pouvons sortir le signe négatif et obtenir -f(x). Ainsi, nous prouvons que f est une fonction impaire. Il est important de vérifier que l'ensemble de définition est centré sur 0, car sinon la fonction ne peut pas être impaire. Par exemple, si nous choisissons une fonction g définie sur R privé de 1, cette fonction ne sera pas impaire car elle n'est pas symétrique par rapport à 0. En résumé, pour la périodicité, nous devons deviner et démontrer, tandis que pour la parité, il suffit de tester et de conclure si la fonction est impaire ou paire. C'est tout pour cette vidéo sur la parité et la périodicité.