Introduction

Bienvenue dans cette vidéo d'introduction au premier topic du chapitre sur les intégrales. Dans cette vidéo, nous présentons les définitions et les propriétés des intégrales. Dans ce chapitre, nous allons calculer des aires sous des courbes, c'est-à-dire trouver l'intégrale d'une fonction continue. Nous commençons par poser les bases pour les fonctions continues, positives, négatives, etc. Pour illustrer ces concepts, nous prenons un exemple simple de calcul de l'aire sous la courbe d'une fonction constante égale à 2 entre 0 et 3. L'aire sous cette courbe est un rectangle de hauteur 2 et de largeur 3, donc l'aire est de 6. Nous faisons également le même calcul avec une fonction affine de pente 1, et nous obtenons un triangle rectangle isocèle avec une base de 3 et une hauteur de 3. L'aire sous cette courbe est donc de 9/2. Vous pouvez vous demander pourquoi consacrer un chapitre à ce sujet. En réalité, nous aurons des fonctions plus complexes et nous nous inspirerons de l'approximation du cas simple du rectangle pour comprendre le calcul de l'aire sous une fonction courbe. Nous pourrons dire que cela est approximativement égal à l'aire d'une somme de rectangles. Les rectangles auront une largeur delta x pour la distance entre les deux points et une hauteur égale à la valeur de la fonction f(x) à chaque point. Pour être plus précis, cette approximation est valable lorsque nous faisons une somme sur un nombre infini de rectangles, c'est-à-dire lorsque nous rendons la largeur des rectangles infiniment petite. En notation mathématique, nous utilisons donc le symbole de la somme stylisé, qui représente la somme entre a et b. Les points importants de ce sous-chapitre seront la définition de l'intégrale pour les fonctions continues positives et pour les fonctions de signes quelconques, ainsi que l'encadrement et l'intuition graphique. Les méthodes que nous utiliserons seront le calcul de l'aire par un R, suivi de l'estimation de l'aire par la méthode du rectangle. En conclusion, ce cours introduit les concepts et les approximations de calcul des intégrales. Nous vous souhaitons bon courage pour la suite du chapitre et nous vous retrouverons dans la prochaine vidéo. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ si besoin. À bientôt !