Suite d'Intégrales

Dans cette vidéo, nous étudions une suite d'intégrales et essayons de trouver sa convergence. Nous commençons par définir une suite de fonctions "fn" de "t" égale à 1 + "t" à la puissance "n" et "in" comme l'intégrale de 0 à 1 de "fn". Nous essayons ensuite d'encadrer cette fonction entre 1 et 1 - "t" à la puissance "n". Nous construisons des inégalités en utilisant les propriétés des fonctions croissantes et décroissantes. Cependant, nous rencontrons des difficultés pour établir la deuxième inégalité. Dans ce cas, nous utilisons une méthode plus intuitive en effectuant la différence entre les deux expressions. Nous parvenons à montrer que cette différence est positive, ce qui prouve que 1 - "t" à la puissance "n" est inférieur à 1 / (1 + "t" à la puissance "n"). Ensuite, nous calculons l'intégrale de 0 à 1 de 1 - "t" à la puissance "n", en utilisant la linéarité de l'intégrale. Nous trouvons que cette intégrale est égale à "n" / ("n" + 1). En utilisant les résultats précédents, nous encadrons l'intégrale "in" entre 1 et "n" / ("n" + 1). Nous montrons ensuite que cette suite converge vers 1 en utilisant le théorème d'encadrement. En conclusion, nous avons encadré la fonction "fn" grâce aux inégalités et calculé l'intégrale "in". Nous avons démontré que cette suite converge vers 1.