Trouver l'équation d'un plan avec un vecteur normal

Dans ce cours, nous étudions la définition d'un plan dans l'espace à partir de trois points non alignés, notés ABC. Pour que ces points définissent un plan, ils ne doivent pas être alignés. Afin de le vérifier, nous examinons si les vecteurs formés par les points ABC sont collinéaires ou non. Nous calculons le vecteur AB et constatons qu'il ne peut pas être égal à l'opposé du vecteur AC, car ils ont une coordonnée commune. Par conséquent, si les vecteurs ne sont pas collinéaires, les points ABC définissent bien un plan. Ensuite, nous cherchons à déterminer une équation cartésienne du plan ABC. Pour cela, nous recherchons d'abord un vecteur normal au plan en utilisant les produits scalaires des vecteurs n et A, B, A, C. Cela nous donne deux équations pour trois inconnues. Cependant, il n'y a pas qu'un seul vecteur normal, mais une infinité dans la même direction. Trouver deux équations sur A, B et C est suffisant pour obtenir une famille de vecteurs normaux potentiels, parmi lesquels nous pouvons choisir. En résolvant les équations, nous trouvons que B est égal à 0. Cela signifie que A est égal à C. Nous déduisons donc que le vecteur n peut être représenté par 1, 0, 1, ce qui correspond à la direction orthogonale au plan. En utilisant la technique précédente, nous obtenons finalement l'équation cartésienne du plan ABC : 1x + 0y + 1z = 0. En résumé, pour définir un plan dans l'espace à partir de trois points ABC, nous vérifions que les vecteurs ne sont pas collinéaires. Ensuite, nous cherchons un vecteur normal au plan en utilisant les produits scalaires des vecteurs et les conditions de perpendicularité. Enfin, nous obtenons l'équation cartésienne du plan en utilisant le vecteur normal. Il est important de connaître différentes méthodes pour résoudre ces exercices de géométrie et de s'assurer de reconnaître les bonnes pistes pour trouver les réponses correctes.