Forme indéterminée 2 : la quantité conjuguée

Dans ce cours, nous étudions les méthodes pour les fonctions rationnelles, qui sont des polynômes divisés par d'autres polynômes. La technique utilisée est similaire à celle utilisée pour les polynômes eux-mêmes, c'est-à-dire que l'on factorise le terme de plus haut degré. Par exemple, dans l'exemple donné, nous étudions la suite Vn = 4n² / (n+1), qui est une fonction rationnelle. Nous identifions le terme de plus haut degré, qui est de degré 2, et nous factorisons par n². En bas, le degré est de 1, donc nous factorisons par n. Les n se simplifient ensuite partiellement, et nous obtenons 4n au numérateur divisé par 1 + 1/n qui tend vers 1. Ainsi, nous éliminons l'indétermination et nous voyons que la limite tend vers l'infini. En conclusion, Vn tend vers l'infini. Ensuite, nous étudions les différents cas de figure pour les fonctions rationnelles. Il y a trois cas possibles : soit le degré de P (le numérateur) est strictement supérieur au degré de Q (le dénominateur) ; dans ce cas, P l'emporte et la limite tend vers l'infini. Soit le degré de Q est strictement supérieur au degré de P ; dans ce cas, Q l'emporte et la limite tend vers 0. Le troisième cas est lorsque le degré de Q est égal au degré de P ; dans ce cas, les deux sont de même ordre de grandeur et la limite tend vers le rapport des coefficients dominants de Q et P. Par exemple, si nous prenons la suite Un = (3n² + 2n + 1) / (4n² + n + 4), nous factorisons par le terme de plus haut degré, n², et nous simplifions pour obtenir 3 + 2n + 1 / n² au numérateur, et 4 + 1/n + 4/n² en bas. Cette limite tend finalement vers 3/4, le rapport des coefficients dominants. En résumé, pour les fonctions rationnelles, nous avons toujours l'un des trois cas de figure mentionnés ci-dessus. Il est donc important de les prendre en compte lors de l'étude de ces fonctions.