Suite-fraction

La suite vn est une suite définie par vn = 6n + 3 / n + 1. Pour étudier les variations de cette suite, on utilise le critère de croissance en calculant le ratio vn+1 / vn. On simplifie cette expression pour obtenir (2n² + 5n + 3) / (2n² + 5n + 2), qui est strictement supérieur à 1. Ainsi, on peut en déduire que la suite vn est croissante. Ensuite, on souhaite montrer que cette suite est majorée. On fait la supposition vn + 1 = 6 et on démontre par équivalence que cela est vrai si et seulement si 3 + 1 = 6, ce qui est effectivement vérifié. Donc, on peut affirmer que vn est majorée par 6. Enfin, on applique le théorème de convergence monotone qui stipule qu'une suite croissante et majorée converge. Ainsi, la suite vn converge vers une limite qui est 6. Une autre méthode pour étudier les variations de la suite vn consiste à simplifier son expression en écrivant vn = 6n + 3 / n + 1. En effectuant des calculs, on fait apparaitre l'expression 6n + 6 en haut et on compense cela en écrivant innocemment 6(n + 1) - 3. En séparant la fraction, on obtient f(n) = 6 - 3 / (n + 1), qui est une fonction croissante. Ainsi, on peut conclure que la suite vn est également croissante. De plus, en observant l'expression simplifiée de la suite vn, qui est 6 - 3 / (n + 1), on peut remarquer que lorsque n tend vers l'infini, le terme 3 / (n + 1) tend vers 0. Par conséquent, vn tend vers 6. En résumé, la suite vn = 6n + 3 / (n + 1) est croissante et majorée par 6, ce qui implique qu'elle converge vers la limite 6.