Prépa : Fibonacci

Le cours traite de la suite de Fibonacci et du nombre d'or. La suite de Fibonacci est définie par récurrence où chaque terme est la somme des deux précédents. On nous demande de trouver des réels a, b, lambda et mu tels que chaque terme peut être exprimé comme une combinaison linéaire de sommes géométriques. Plutôt que de traiter immédiatement les 4 inconnues, on cherche d'abord à déterminer s'il existe une seule somme géométrique qui vérifie la relation. On trouve deux possibilités a = (1 - √5)/2 et b = (1 + √5)/2, correspondant au nombre d'or. En utilisant ces valeurs, on résout un système d'équations pour trouver lambda et mu. Une fois que l'on a a, b, lambda et mu, on peut simplifier les calculs en utilisant les propriétés des suites géométriques. On peut ainsi déterminer que b^n tend vers b, qui est égal au nombre d'or. En utilisant cette information, on peut factoriser l'expression et conclure que le terme dominant tend vers 1. Au final, on trouve que la limite de la suite de Fibonacci divisée par le terme précédent tend vers le nombre d'or.