Décomposition d’une fonction en fonction paire et impaire

Dans cet exercice, nous devons montrer que la fonction F peut s'écrire de manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Pour cela, nous utilisons un raisonnement par analyse synthèse. Dans la première partie de l'analyse, nous supposons que F s'écrit effectivement comme la somme d'une fonction paire G et d'une fonction impaire H. En utilisant la parité de G et l'imparité de H, nous obtenons un système linéaire à deux inconnus à résoudre. Nous trouvons que G de X est égal à F de X plus F de moins X sur 2, et que H de X est égal à F de X moins F de moins X sur 2. Dans la partie de la synthèse, nous supposons l'existence de deux autres fonctions paire et impaire, G1, G2 et H1, H2 respectivement, qui s'écrivent également comme la somme de F. En utilisant à nouveau la parité de G et l'imparité de H, nous obtenons un système linéaire similaire. En le résolvant, nous trouvons que G1 est égal à G2 de X, qui est égal à F de X plus F de moins X sur 2, et H1 est égal à H2 de X, qui est égal à F de moins X moins F de moins X sur 2. Ainsi, nous avons montré que le couple de fonctions paire et impaire G, H est unique. Par conséquent, F peut s'écrire de manière unique comme la somme d'une fonction paire G et d'une fonction impaire H, où G de X est égal à F de X plus F de moins X sur 2, et H de X est égal à F de X moins F de moins X sur 2.