Dérivabilité par la définition formelle

Dans cette vidéo, nous abordons un exercice concernant la notion de prolongement par continuité. On examine une fonction f définie par f(x) = x^2*sin(1/x). On doit prouver trois choses : 1) f peut être prolongée par continuité en 0, 2) f est dérivable sur R, et 3) f' n'est pas continue en 0. Pour montrer que f peut être prolongée par continuité en 0, nous commençons par noter que f est continue sur R* (l'ensemble des réels non nuls) car elle est le produit et la composition de fonctions continues. Ensuite, nous prouvons que f a une limite finie en 0. En effet, en utilisant les bornes du sinus, nous encadrons f(x) par -x^2 et x^2. Or, ces deux expressions tendent vers 0 lorsque x tend vers 0. Donc, par encadrement, on conclut que f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Ainsi, f est prolongeable par continuité en 0. Ensuite, nous montrons que f est dérivable sur R. Comme précédemment, on remarque que f est dérivable sur R* car elle est le produit et la composition de fonctions dérivables. Pour prouver qu'elle est dérivable en 0, nous revenons à la définition fondamentale de la dérivée, qui est la limite du taux d'accroissement. En calculant le taux d'accroissement, nous trouvons que celui-ci est égal à h*sin(h). En utilisant l'encadrement du sinus, nous concluons que h*sin(h) tend vers 0 lorsque h tend vers 0. Donc, f est dérivable sur tout R. Enfin, nous démontrons que f' n'est pas continue en 0. Nous utilisons une caractérisation séquentielle de la limite pour cela. En calculant f', nous obtenons f'(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x). En choisissant une suite un égale à 1/(2πn), nous remarquons que un tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, mais f'(un) = -1 pour tout n appartenant à N. Ainsi, la limite de f'(un) n'est pas égale à 0, qui est la valeur attendue pour la dérivée en 0. Par conséquent, nous concluons que f' n'est pas continue en 0 et donc que f n'est pas C1 sur R. En résumé, dans cette vidéo, nous avons montré que la fonction f(x) = x^2*sin(1/x) peut être prolongée par continuité en 0, est dérivable sur tout R, mais que sa dérivée f' n'est pas continue en 0, ce qui signifie que f n'est pas C1 sur R.