Inégalités classiques !

Dans cette vidéo, nous avons abordé un exercice classique en mathématiques qui consiste à démontrer trois inégalités importantes. La première inégalité à démontrer est que pour tout x supérieur ou égal à 0, le sinus de x est inférieur ou égal à x. En étudiant les variations de la fonction sinus de x moins x, nous montrons que cette fonction est décroissante et atteint son maximum en 0. Ainsi, nous concluons que pour tout x dans R+, le sinus de x est inférieur ou égal à x. La deuxième inégalité à démontrer est que pour tout x appartenant à R, l'exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x. Nous utilisons le fait que la fonction exponentielle est convexe pour montrer que sa courbe se situe au-dessus de sa tangente en 0, qui est x plus 1. Par conséquent, pour tout x dans R, l'exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x. Enfin, la dernière inégalité à démontrer est que pour tout x dans (-1, +∞), le logarithme népérien de 1 plus x est inférieur ou égal à x. En utilisant le fait que la fonction ln de 1 plus x est concave, nous montrons que sa courbe se situe en-dessous de sa tangente en 0, qui est x. Ainsi, pour tout x dans (-1, +∞), ln de 1 plus x est inférieur ou égal à x. Ces inégalités sont classiques et importantes à maîtriser, et vous les utiliserez fréquemment en prépa et même dans votre vie.