Suite d'Intégrales

La méthode utilisée pour étudier la convergence d'une suite d'intégrales est présentée dans ce cours. La suite de fonctions fn est définie comme 1/(1+t)^n. L'objectif est de trouver la convergence de cette suite. La première méthode consiste à construire des inégalités. En utilisant les propriétés des puissances et des fonctions inverses, on montre que la fonction est encadrée entre 1 et 1-(1+t)^n. Cependant, cette méthode ne fonctionne pas pour la deuxième inégalité. Une autre approche consiste à prendre la différence entre les deux expressions et à montrer qu'elle est positive. En simplifiant l'expression, on obtient une forme du type a^2 - b^2, ce qui permet de conclure que 1-(1+t)^n est inférieur à 1/(1+t)^n. Ensuite, on calcule l'intégrale de 1- t^n de 0 à 1 et on trouve (n/(n+1)). On utilise ensuite la linéarité de l'intégrale pour encadrer cette intégrale. Finalement, on montre que la suite des intégrales converge vers 1 à l'aide du théorème d'encadrement. On utilise les informations précédentes pour conclure que la suite converge et donner sa limite.