elements réguliers

Dans ce cours, nous nous intéressons à un groupe fini G avec un élément neutre E. On suppose que le cardinal de G est pair et nous devons démontrer qu'il existe un X appartenant à G, distinct de l'élément neutre, tel que X soit égal à son inverse. Pour résoudre ce problème, nous commençons par créer des sous-ensembles de G en utilisant l'hypothèse sur le cardinal de G. Nous posons f(X), qui est l'ensemble des éléments de G qui sont égaux à leur inverse. Ensuite, nous remarquons que pour deux éléments distincts X et Y, les ensembles f(X) et f(Y) sont soit distincts, soit confondus en tant qu'ensembles. Plus précisément, soit f(X) = f(Y), soit l'intersection de f(X) et f(Y) est l'ensemble vide, pour tout X et Y dans G. Nous expliquons ensuite que si Y est différent de X-1 (l'inverse de X), alors Y-1 est différent de X-1. Donc, f(Y) ∩ f(X) est l'ensemble vide. Grâce à cela, nous concluons que G peut s'écrire comme une réunion disjointe de tous les f(X) différents. Autrement dit, G est l'union de tous les éléments de G qui ne sont pas dans f(X). Cependant, nous savons qu'au moins l'un de ces ensembles f(X) a un cardinal de 1. Il s'agit de f(E), car E-1 est égal à E lui-même. Si tous les autres ensembles avaient un cardinal de 2, le groupe aurait un cardinal impair, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse que le cardinal de G est pair. Par conséquent, il existe un X différent de E tel que le cardinal de f(X) soit égal à 1, ce qui signifie que X est égal à son inverse, comme demandé dans le problème.