Automorphisme

Dans cette vidéo, Corentin parle de la notion d'automorphisme. Il explique qu'un automorphisme est une application qui va d'un groupe à lui-même. Pour déterminer les automorphismes de Z' plus (les entiers positifs), il faut trouver ceux qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs. Corentin commence par rappeler ce qu'est un morphisme de groupe. Il explique que pour tout A et B dans Z (les entiers relatifs), f de A plus B est égal à f de A plus f de B, et f de 0 est égal à 0. Ensuite, il démontre par récurrence que pour tout n dans N* (les entiers naturels non nuls), f de n est égal à n fois f de 1. Il montre également que pour les entiers négatifs, f de n est égal à n fois f de 1. En conclusion, les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont les fonctions qui vérifient f de n est égal à n fois f de 1, pour tout n dans Z. Ensuite, Corentin se concentre sur les automorphismes surjectifs. Il propose de trouver une forme particulière et de vérifier si cette forme vérifie les conditions pour être un automorphisme surjectif. Il montre que f de 1 doit être égal à 1 ou -1 pour que f de Z soit égal à Z. Les morphismes surjectifs sont donc f de n est égal à n ou f de n est égal à -n. Enfin, Corentin aborde les automorphismes injectifs. Il rappelle un théorème selon lequel un morphisme est injectif si et seulement si le noyau de ce morphisme est réduit à l'élément neutre du groupe. En appliquant ce théorème à Z' plus, il montre que tous les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont injectifs, sauf l'application identiquement nulle. En résumé, les automorphismes de Z' plus sont les fonctions qui vérifient f de n est égal à n fois f de 1, pour tout n dans Z. Parmi ces automorphismes, ceux qui sont surjectifs sont f de n est égal à n ou f de n est égal à -n, et ceux qui sont injectifs sont tous sauf l'application identiquement nulle.