Inégalité de Bernoulli : Démo

Dans cette vidéo, nous allons démontrer ensemble l'immédiateté de Bernoulli en utilisant la méthode de démonstration par récurrence. Pour repérer qu'une démonstration par récurrence est attendue, il faut être attentif aux mots-clés tels que "pour tout entier naturel N". Une démonstration par récurrence permet d'avoir un chemin à suivre lorsqu'on ne sait pas comment commencer une démonstration en mathématiques. Lorsqu'une formule est donnée, cela indique qu'une récurrence est possible. Pour éviter de perdre des points, il est recommandé d'écrire immédiatement les trois parties de la démonstration par récurrence: (1) initialisation, (2) hérédité, (3) conclusion. Ce rappel permet d'éviter d'oublier une partie et de perdre des points par manque de clarté. Il est important de ne pas simplement donner le résultat, mais de le justifier. Par exemple, pour l'initialisation, il faut expliquer que 1^0 = 1 et que 1+0*a = 1, donc l'assertion est vérifiée. Ensuite, il est conseillé de rédiger la partie de l'hérédité en écrivant le point de départ et le point d'arrivée de la démonstration. Cela permet de garder le cap et de ne pas se perdre dans la rédaction. Ensuite, en multipliant les deux membres de l'hypothèse de récurrence par (1+a), on obtient l'expression à démontrer. En développant, on peut observer que certains termes se simplifient et on peut montrer que l'expression est plus grande ou égale à celle du point d'arrivée. En conclusion, on peut écrire la phrase type de la démonstration par récurrence en affirmant que l'assertion est vérifiée pour tout entier naturel n. Il est important de noter que la structure de la démonstration et la clarté de la rédaction sont primordiales pour éviter de perdre des points.