Mouvement cyclotron

Aujourd'hui, nous allons étudier le mouvement cyclotron, une démonstration classique sur les particules chargées. Nous considérons une particule de charge Q et de masse M qui évolue dans un champ magnétique B selon l'axe OZ. La particule a une vitesse initiale selon l'axe EY. L'objectif est de déterminer le mouvement de la particule dans cette configuration. Nous négligeons le poids de la particule et ne considérons que la force magnétique. Nous commençons par rappeler les expressions des vecteurs vitesse (V) et accélération (A) en coordonnées cartésiennes et les appliquer au Principe Fondamental de la Dynamique (PFD). Pour calculer la force de Lorentz, nous utilisons la formule QV ⊗ B. En projetant cette force sur les deux directions qui nous intéressent, nous obtenons les équations X = QBY/M et Y = QBX/M, que nous appelons équations couplées. Nous voulons résoudre ces équations couplées. Une méthode consiste à dériver l'équation pour obtenir une équation de la forme d'un oscillateur harmonique. Une autre méthode consiste à utiliser une grandeur intermédiaire complexe U = X' + Y'. En dérivant U par rapport au temps, nous obtenons une équation de la forme U' = - Y ωc U, où ωc est la pulsation cyclotronique (QBM). Nous résolvons cette équation en fonction des conditions initiales pour obtenir U(t) = IV0e^(-iωct). Cependant, U n'a pas de sens physique, donc nous séparons sa partie réelle (qui correspond à VX) de sa partie imaginaire (qui correspond à VY). Finalement, nous obtenons X(t) = V0 sin(ωct) et Y(t) = V0 cos(ωct), ce qui représente le mouvement de la particule dans le plan XY. Nous intégrons encore une fois ces équations pour obtenir les expressions de X(t) et Y(t) en fonction du temps. Ainsi, nous trouvons X(t) = V0/(ωc) (1 - cos(ωct)) et Y(t) = V0/(ωc) sin(ωct). La trajectoire de la particule correspond à ces équations et elle forme un cercle. Nous le démontrons en utilisant le théorème de Pythagore pour éliminer les cos² et sin². La vitesse de la particule sur le cercle est constante et égale à V0, tandis que sa vitesse angulaire est égale à ωc. Cela signifie que la particule parcourt le cercle à une vitesse constante et avec une vitesse angulaire déterminée par les propriétés du champ magnétique. Dans le cas d'une particule de charge négative, les équations restent les mêmes, à l'exception du signe de ωc, qui devient négatif. Cela entraîne des changements dans les coordonnées du centre du cercle, mais la trajectoire reste un cercle. En conclusion, l'exercice du mou