Récurrence et croissance

La démonstration par récurrence est une méthode importante à maîtriser en mathématiques. Pour prouver l'hérédité de la suite, qui est la partie la plus compliquée de cette démonstration, voici quelques astuces. Pour démontrer que la suite est strictement décroissante, on définit la propriété P2n, qui est vraie pour tout n. Pour l'initialisation, on commence par u0 et pour l'hérédité, on écrit l'hypothèse de récurrence et ce qu'on veut montrer, en veillant à être explicite. Pour montrer que un+2 est plus petit que un+1, on utilise l'hypothèse de récurrence en la composant avec une fonction affine f, qui est strictement croissante. Enfin, on montre l'hérédité rigoureusement. Il est important de ne pas confondre la valeur de la suite au rang n avec l'objet suite elle-même, en utilisant des parenthèses pour éviter toute ambiguïté.