Second membre polynômial

Dans cette vidéo, Mathias de Studio aborde les équations différentielles linéaires d'ordre 2. Il explique tout d'abord qu'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 est une équation où la dérivée seconde de la fonction inconnue apparaît, comme dans l'exemple donné : y'' - 3y' + 2y = 1. Il précise également que les coefficients devant les différentes dérivées doivent être constants et réels. Mathias explique ensuite la méthode à suivre pour résoudre ce type d'équations. Tout d'abord, il faut résoudre l'équation homogène associée, c'est-à-dire l'équation sans le second membre (dans cet exemple, y'' - 3y' + 2y = 0). Pour cela, il pose l'équation caractéristique et résout le polynôme correspondant. Dans cet exemple, les racines de ce polynôme sont 2 et 1, ce qui permet d'écrire la solution homogène générale. Ensuite, Mathias cherche une solution particulière en choisissant une fonction simple dans le second membre de l'équation différentielle. Dans cet exemple, il trouve que y = 1.5 est une solution particulière. Enfin, il suffit de sommer la solution homogène générale et la solution particulière pour obtenir l'ensemble des solutions de l'équation différentielle. Mathias donne ensuite un autre exemple d'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à résoudre, en expliquant que dans ce cas, il y a une condition supplémentaire à vérifier. Il montre comment résoudre cette équation en suivant les mêmes étapes que précédemment. Enfin, Mathias aborde un dernier exemple avec une seule condition, ce qui donne une solution unique pour l'équation différentielle. Il conclut en rappelant l'importance de connaître les formes classiques du discriminant de l'équation caractéristique pour résoudre ce type d'équations. Il encourage à bien apprendre ces formules, car cela facilite grandement la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 2.