Somme et inégalité

Dans cette vidéo, on étudie les propriétés des nombres complexes. Tout d'abord, on montre que deux nombres complexes ont les mêmes arguments si et seulement si leur conjugué multiplié ensemble est un nombre réel positif. Ensuite, on démontre l'inégalité triangulaire pour le module de la somme de deux nombres complexes : le module de la somme est inférieur ou égal à la somme des modules. De plus, cette inégalité devient une égalité si et seulement si le conjugué du produit des deux nombres complexes appartient à l'ensemble des nombres réels positifs. On généralise ensuite cette inégalité triangulaire pour la somme de n nombres complexes en utilisant la récurrence. Ensuite, on montre que si la somme des nombres complexes divisés par leur module est égale à zéro, alors la somme des modules de ces nombres est inférieure ou égale à la somme des modules de z moins chaque nombre complexe. Enfin, on montre que cette inégalité devient une égalité si et seulement si le conjugué de chaque nombre complexe divisé par z moins ce nombre complexe appartient à l'ensemble des nombres réels positifs. Cette démonstration nécessite une bonne manipulation et calcul des nombres complexes.