Probabilités - Centres étrangers 2022

Dans cet exercice, nous abordons les notions de probabilités et de variables aléatoires. Nous sommes dans le contexte de la fabrication de paires de lunettes et nous avons deux traitements possibles, T1 et T2. Nous devons calculer différentes probabilités, notamment en utilisant les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Nous commençons par remplir un tableau en utilisant les probabilités données dans l'énoncé. Ensuite, nous calculons la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour au moins un des deux traitements. Pour cela, nous utilisons la formule de l'union des événements. Ensuite, nous calculons la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour les deux traitements. Pour cela, nous utilisons la formule de l'intersection des événements. Nous vérifions ensuite si les événements A et B sont indépendants en utilisant la formule des probabilités conditionnelles. Nous calculons ensuite la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour un seul des deux traitements, en utilisant la formule de l'union des événements moins la probabilité de l'intersection. Nous calculons également la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2, sachant qu'elle présente un défaut pour le traitement T1 en utilisant la formule des probabilités conditionnelles. Ensuite, nous passons à la partie B de l'exercice, où nous considérons un échantillon de 50 paires de verres prélevées au hasard dans la production. Nous introduisons la variable aléatoire X, qui compte le nombre de paires de verres présentant le défaut pour le traitement T1 dans cet échantillon. Nous montrons que X suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,1. En utilisant la formule de la probabilité d'une loi binomiale, nous calculons la probabilité d'avoir exactement 10 paires de verres présentant ce défaut dans l'échantillon. Nous calculons également l'espérance de la variable aléatoire X, qui donne en moyenne le nombre de paires de verres dans un échantillon de 50 avec ce défaut. Cela conclut l'exercice sur les probabilités.