Circuit RC

Dans cette vidéo, nous nous intéressons à l'équation différentielle qui régit un circuit RC. Un circuit RC est composé d'un condensateur de capacité C en série avec une résistance R et d'un générateur de force électromotrice E. L'équation différentielle qui régit la tension UC au niveau du condensateur lors de la charge est donnée par RC * d2UC/dt + UC = E. On doit vérifier si l'expression UC = A + B * exp(-t/RC) est une solution de cette équation et trouver la valeur de A. Pour vérifier cela, nous devons dériver UC. Nous dérivons donc A et obtenons simplement 0, puis la dérivée de l'exponentielle est -1/RC. Ainsi, nous avons la dérivée du facteur dans l'exponentielle qui est -1/RC * B * exp(-t/RC). En injectant UC et sa dérivée dans l'équation, on obtient RC * d2UC/dt + UC = A + B * exp(-t/RC) + (-1/RC * B * exp(-t/RC)). D'après l'énoncé de l'équation, on sait que cela est égal à E. Donc, on peut conclure que UC est une solution de l'équation lorsque A = E. La deuxième question consiste à trouver l'expression de B lorsque le condensateur est initialement déchargé. Dans ce cas, UC(0) = 0. En évaluant UC(0) dans l'expression UC, on a donc 0 = E + B. Donc, on en déduit que B = -E, et on obtient finalement l'expression UC = E * (1 - exp(-t/RC)). Dans le cas où le condensateur est chargé initialement à une tension U0 inférieure à E, la seule différence est que UC(0) = U0. En suivant les mêmes étapes, on trouve que B = U0 - E, et l'expression de UC est UC = E + (U0 - E) * exp(-t/RC). Enfin, sur le même graphique, on peut représenter l'allure des fonctions UC(t) dans les deux cas précédents. Dans les deux cas, UC tend vers E à l'infini, et la durée caractéristique pour atteindre le régime permanent est RC. La seule différence réside dans la valeur initiale à l'origine, qui dépend si le condensateur est chargé ou déchargé initialement. Cette vidéo présente donc la résolution de l'équation différentielle associée à la tension au niveau du condensateur dans un circuit RC. C'est une méthode classique à connaître pour comprendre les phénomènes qui se produisent dans ce type de circuit.