Utiliser la LGN

Dans ce cours, nous discutons des inégalités et des concentrations que vous rencontrerez en terminale. Plus précisément, nous examinons un exercice dans lequel nous devons estimer l'espérance de la variable aléatoire XI. L'énoncé nous dit que nous devons remplir un questionnaire qui comprend le nombre d'enfants de moins de 18 ans dans le foyer. On appelle X1 à X1000 les variables aléatoires qui représentent les réponses des mille premiers utilisateurs. Nous faisons l'hypothèse que ces variables aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées. Pour estimer l'espérance de XI, nous utilisons le graphique qui montre l'évolution de la moyenne du nombre d'enfants de moins de 18 ans par utilisateur. Nous rappelons alors la loi des grands nombres, qui dit que lorsque nous avons un échantillon de variables aléatoires X1 à XN avec une espérance attendue mu, la moyenne empirique Mn de cet échantillon tend vers l'espérance mu lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini. Dans notre cas, nous remarquons que la moyenne empirique Mn tend vers 1,5 lorsque la taille de l'échantillon devient très grande. Par conséquent, nous estimons que l'espérance de XI est égale à 1,5. Il est important de noter que la moyenne empirique tend vers l'espérance en probabilité, et non exactement. Cependant, cela peut être étudié plus en détail dans le cadre des études en mathématiques. En résumé, dans cet exercice, nous utilisons la loi des grands nombres pour estimer l'espérance de la variable aléatoire XI, en se basant sur les réponses des utilisateurs à un questionnaire sur le nombre d'enfants de moins de 18 ans dans le foyer. Nous constatons que la moyenne empirique tend vers 1,5 lorsque la taille de l'échantillon augmente, ce qui nous permet d'estimer que l'espérance de XI est également de 1,5.